Varietà di Calabi-YauLe varietà di Calabi-Yau o spazi di Calabi-Yau sono una varietà differenziabile a variabili complesse, con uno spinore armonico non nullo. Sono una classe speciale di varietà complesse compatte che hanno rivoluzionato la geometria differenziale del XX secolo e giocano un ruolo centrale nella teoria delle stringhe e nella fisica teorica moderna. Sono spazi geometrici di dimensione pari (
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
 dimensioni reali) che generalizzano il concetto di toro e possiedono proprietà estremamente speciali, come l'essere Ricci-piatte e ammettere una forma di volume complessa privilegiata. La loro scoperta si deve all'intuizione di Eugenio Calabi e alla successiva dimostrazione di Shing-Tung Yau, che per questo risultato ottenne la medaglia Fields nel 1982. A partire dal 1985, questi oggetti geometrici divennero fondamentali per la fisica delle stringhe come candidati per la forma delle dimensioni spaziali extra dell'universo. Recentemente, funzioni matematiche legate a queste varietà sono emerse in modo del tutto inatteso nel calcolo ad alta precisione dell'energia irradiata durante lo scattering di buchi neri e stelle di neutroni, fornendo un ponte sorprendente tra matematica pura e astrofisica osservabile.


== Definizioni equivalenti ==
Per una varietà complessa compatta di dimensione complessa 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, le seguenti definizioni sono sostanzialmente equivalenti per varietà semplicemente connesse, mentre presentano sottili differenze in casi più generali.


=== Definizione differenziale e metrica ===
Una varietà di Calabi-Yau è una varietà di Kähler compatta che ammette una metrica di Kähler con curvatura di Ricci identicamente nulla (Ricci-piatta). La piattezza di Ricci significa che la curvatura media intrinseca della varietà è zero in ogni punto. Questa è precisamente la proprietà stabilita dal teorema di Calabi-Yau: "Su una varietà di Kähler compatta con prima classe di Chern nulla, esiste un'unica metrica di Kähler (nella stessa classe coomologica) con 'curvatura di Ricci' zero."


=== Definizione topologico-algebrica ===
Topologicamente, una varietà di Calabi-Yau ha la sua prima classe di Chern 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}}
  
 nulla. Geometricamente, ciò implica che il suo fibrato canonico (il fibrato delle 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-forme olomorfe) è banale, ossia ammette una sezione olomorfa globale e mai nulla. Questa sezione è chiamata forma olomorfa di volume ed è unica a meno di una costante moltiplicativa. Una definizione algebrica equivalente richiede anche che i gruppi di coomologia 
  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
        (
        X
        ,
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})}
  
 si annullino per 
  
    
      
        0
        <
        i
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 0<i<n}
  
.


=== Definizione tramite olonomia (la più restrittiva) ===

Una definizione più forte e geometricamente profonda si basa sul gruppo di olonomia. L'olonomia descrive la trasformazione di un vettore quando viene trasportato parallelamente lungo un ciclo chiuso sulla varietà. Una varietà di Calabi-Yau di dimensione complessa 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
  ha gruppo di olonomia (ristretto) esattamente uguale al gruppo speciale unitario  
  
    
      
        S
        U
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle SU(n)}
  
. Questa proprietà garantisce l'esistenza di uno spinore covariante costante sulla varietà, che è un elemento cruciale per preservare la supersimmetria nelle applicazioni fisiche della teoria delle stringhe.


== Storia e sviluppo ==


=== La congettura di Calabi ===
Nei primi anni '50, il matematico Eugenio Calabi iniziò a studiare le possibili metriche su varietà di Kähler. La sua intuizione fondamentale lo portò a formulare un'audace congettura: su una varietà di Kähler compatta con prima classe di Chern nulla, dovesse esistere un'unica metrica di Kähler, nella stessa classe coomologica, con curvatura di Ricci nulla. Questa ipotesi, che molti matematici contemporanei ritenevano improbabile o falsa, rimase una delle sfide aperte più importanti in geometria differenziale per oltre vent'anni.


=== La dimostrazione di Yau ===
La svolta avvenne grazie a Shing-Tung Yau, all'epoca un giovane matematico. Dopo un iniziale tentativo fallito di trovare un controesempio, Yau concentrò gli sforzi sulla prova costruttiva. La sua dimostrazione, completata nel 1976 e pubblicata nel 1978, risolveva un'equazione differenziale alle derivate parziali non lineare di tipo Monge-Ampère di complessità senza precedenti. Per questo risultato monumentale, Yau ricevette la medaglia Fields nel 1982. Yau stesso ha raccontato che il termine "Calabi-Yau" è diventato così comune che a volte pensa che il suo primo nome sia "Calabi".


=== L'ingresso nella fisica teorica ===
Nei primi anni '80, i fisici che lavoravano sulla teoria delle superstringhe cercavano un modo per "compattificare" le sei dimensioni spaziali extra richieste dalla teoria in una forma che preservasse proprietà cruciali come la supersimmetria. Nel 1985, i fisici Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger ed Edward Witten realizzarono che le varietà di Calabi-Yau erano la soluzione ideale. Non solo preservavano la supersimmetria necessaria, ma la loro ricca topologia poteva potenzialmente dare origine alle diverse famiglie di particelle e forze osservate nel modello standard della fisica delle particelle. Calabi, pur lusingato dall'attenzione, ha chiarito che la sua congettura era nata come un problema puramente geometrico, senza alcun legame iniziale con la fisica.


== Esempi per dimensione complessa ==
Le proprietà e la classificazione delle varietà di Calabi-Yau variano radicalmente con la dimensione complessa 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 (che corrisponde a 
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
  dimensioni reali).


=== Dimensione 1: le curve ellittiche ===
Gli unici esempi compatti in una dimensione complessa sono le curve ellittiche, topologicamente equivalenti a un toro bidimensionale (
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
        ×
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}
  
). In questo caso, la condizione di Ricci-piatto equivale all'esistenza di una metrica piatta. Il loro gruppo di olonomia è il gruppo banale 
  
    
      
        S
        U
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle SU(1)}
  
. Le curve ellittiche sono fondamentali non solo in geometria ma anche in teoria dei numeri e crittografia.


=== Dimensione 2: le superfici K3 ===
Le uniche superfici di Calabi-Yau compatte e semplicemente connesse in due dimensioni complesse sono le superfici K3. Un esempio canonico è dato da una quartica (ipersuperficie di grado 4) nello spazio proiettivo 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
  
, definita da un'equazione come 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            1
          
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            4
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}
  
. Le superfici K3 hanno gruppo di olonomia esattamente 
  
    
      
        S
        U
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle SU(2)}
  
. Esistono anche esempi non semplicemente connessi, come i tori complessi quadridimensionali (superfici abeliane).


=== Dimensione 3: il caso della teoria delle stringhe ===
Questa è la dimensione più studiata per le sue applicazioni nella teoria delle stringhe, dove le 6 dimensioni extra sono compatificate su una varietà di Calabi-Yau tridimensionale (o threefold). L'esempio paradigmatico è la quintica nello spazio proiettivo 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
  
, definita come l'insieme degli zeri di un polinomio omogeneo di quinto grado. Il numero totale di varietà di Calabi-Yau tridimensionali topologicamente distinte è un problema aperto fondamentale. Ampi sforzi di classificazione suggeriscono un numero finito ma molto grande di possibilità, forse dell'ordine di 
  
    
      
        
          10
          
            500
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{500}}
  
, dando origine al famoso "problema del paesaggio delle stringhe".


=== Costruzioni e dimensioni superiori ===
Le varietà di Calabi-Yau possono essere costruite attraverso diversi metodi sistematici:

Ipersuperfici e intersezioni complete in spazi proiettivi (eventualmente pesati).
Fibrati vettoriali, ad esempio il fibrato totale del fibrato cotangente su una curva algebrica.
Quozienti e risoluzioni di singolarità (la tecnica degli orbifold).
Esistono inoltre generalizzazioni in dimensioni superiori e strutture correlate.


== Proprietà matematiche chiave ==


=== I numeri di Hodge ===
Per una varietà di Calabi-Yau compatta di dimensione complessa 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, i numeri di Hodge 
  
    
      
        
          h
          
            p
            ,
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{p,q}}
  
 (che contano le classi di coomologia di tipo 
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  
) presentano simmetrie speciali. In particolare:

  
    
      
        
          h
          
            n
            ,
            0
          
        
        =
        
          h
          
            0
            ,
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle h^{n,0}=h^{0,n}=1}
  
 (riflettendo l'esistenza dell'unica forma di volume olomorfa).

  
    
      
        
          h
          
            p
            ,
            0
          
        
        =
        
          h
          
            0
            ,
            p
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle h^{p,0}=h^{0,p}=0}
  
 per 
  
    
      
        0
        <
        p
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 0<p<n}
  
.
Per una varietà tridimensionale, i due numeri di Hodge indipendenti 
  
    
      
        
          h
          
            1
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{1,1}}
  
 e 
  
    
      
        
          h
          
            2
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{2,1}}
  
 hanno un profondo significato: 
  
    
      
        
          h
          
            1
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{1,1}}
  
 conta i parametri che descrivono le deformazioni della struttura simplettica (o di Kähler), mentre 
  
    
      
        
          h
          
            2
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle h^{2,1}}
  
 conta i parametri delle deformazioni della struttura complessa stessa.


=== La simmetria speculare ===
Una delle scoperte più sorprendenti e feconde è il fenomeno della simmetria speculare, nata dalla fisica delle stringhe ma divenuta un potente strumento matematico. Essa stabilisce che per molte famiglie di varietà di Calabi-Yau tridimensionali 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, ne esiste un'altra 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 (la sua "speculare") tale che:

  
    
      
        
          h
          
            1
            ,
            1
          
        
        (
        M
        )
        =
        
          h
          
            2
            ,
            1
          
        
        (
        W
        )
        
        
          e
        
        
        
          h
          
            2
            ,
            1
          
        
        (
        M
        )
        =
        
          h
          
            1
            ,
            1
          
        
        (
        W
        )
        .
      
    
    {\displaystyle h^{1,1}(M)=h^{2,1}(W)\quad {\text{e}}\quad h^{2,1}(M)=h^{1,1}(W).}
  

Questa dualità scambia la geometria complessa di una varietà con la geometria simplettica dell'altra. Ha permesso di risolvere problemi enumerativi profondi in geometria algebrica (come il conteggio di curve razionali su una quintica) utilizzando metodi spesso più semplici sulla varietà speculare.


== Applicazioni in fisica teorica e oltre ==


=== La compattificazione nella teoria delle stringhe ===
Nelle versioni più promettenti della teoria delle superstringhe, lo spaziotempo richiede 10 dimensioni per essere matematicamente consistente. Per recuperare l'universo quadridimensionale osservato, si postula che le 6 dimensioni spaziali extra siano "compattificate" su una varietà di Calabi-Yau di dimensione complessa 3. La scelta specifica della varietà determina in modo cruciale la fisica efficace a basse energie che emerge nelle 4 dimensioni macroscopiche, influenzando il numero di famiglie di particelle, le loro masse e le costanti di accoppiamento delle forze.


=== Il landscape delle stringhe ===
L'esistenza di un numero enorme (forse 
  
    
      
        
          10
          
            500
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{500}}
  
) di possibili varietà di Calabi-Yau porta al "problema del paesaggio" (landscape problem) nella teoria delle stringhe. Se ogni varietà corrisponde a un diverso insieme di leggi fisiche a bassa energia, quale descrive il nostro universo? Questo ha riaperto dibattiti sul principio antropico e sulla natura predittiva della teoria stessa.


=== Una connessione inattesa: la fisica dei buchi neri ===
Recenti ricerche di frontiera hanno rivelato un legame sorprendente e concreto tra le varietà di Calabi-Yau e l'astrofisica osservabile. Nel 2025, uno studio pubblicato su Nature ha dimostrato che il calcolo ad altissima precisione dell'energia irradiata come onde gravitazionali durante lo scattering di buchi neri o stelle di neutroni richiede funzioni matematiche che sono periodi di varietà di Calabi-Yau tridimensionali. Questo rappresenta la prima volta che queste strutture matematiche, a lungo confinate nella fisica teorica più speculativa, emergono in un osservabile fisico diretto e misurabile, in questo caso collegato a futuri rivelatori di onde gravitazionali di terza generazione.


== Note ==


== Bibliografia ==
Greene, Brian, L'universo elegante, Einaudi, 2005. ISBN 9788806176293.
Yau, Shing-Tung e Nadis, Steve, The Shape of Inner Space, Basic Books, 2010. ISBN 978-0-465-02023-2.
Cox, David A. e Katz, Sheldon, Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, American Mathematical Society, 1999. ISBN 0-8218-2127-6.
Shing-Tung Yau, On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation, in Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 31, n. 3, 1978,  pp. 339–411, DOI:10.1002/cpa.3160310304. (L'articolo originale di Yau che dimostra la congettura di Calabi.)
Philip Candelas, et al., Vacuum Configurations for Superstrings, vol. 258, in "Nuclear Physics B", 1985,  pp. 46–74. (L'articolo che per primo introdusse le varietà di Calabi-Yau nella teoria delle stringhe.)
J. Plefka, G. Mogull, et al., Emergence of Calabi–Yau manifolds in high-precision black-hole scattering, in Nature, vol. 641, 2025,  pp. 603–607, DOI:10.1038/s41586-025-08984-2. (La ricerca che mostra l'emergere di funzioni di Calabi-Yau nel calcolo dell'energia irradiata nello scattering di buchi neri.)
Brian Greene, L'universo elegante, Einaudi, 2005, ISBN 9788806225797. (Un'opera divulgativa di riferimento che spiega il ruolo delle Calabi-Yau nella teoria delle stringhe.)


== Voci correlate ==
Geometria complessa
Teoria delle stringhe
Simmetria speculare
Varietà di Kähler
Supersimmetria
Teoria M
Onda gravitazionale
Buco nero
Eugenio Calabi
Yau Shing-Tung
Gruppo di Lie


== Altri progetti ==

 Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su varietà di Calabi-Yau


== Collegamenti esterni ==

Calabi-Yau, varieta di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. 
(EN) Eric W. Weisstein, Calabi-Yau Space, su MathWorld, Wolfram Research. 
(EN) Varietà di Calabi - Yau, su string.howard.edu. URL consultato il 30 gennaio 2006 (archiviato dall'url originale il 12 novembre 2005).
(EN) Conferenza all'Istituto Fields, su fields.utoronto.ca.Yau Shing-TungYau Shing-Tung (Shantou, 4 aprile 1949) è un matematico cinese naturalizzato statunitense.


== Biografia ==
Cresciuto in una famiglia di sei fratelli, quando aveva 14 anni, dopo la morte di suo padre, andò con la famiglia a Hong Kong e nel 1966-1969 studiò matematica all'Università Cinese di Hong Kong. Si trasferì poi negli Stati Uniti, dove nel 1971 conseguì il dottorato (Ph.D.) alla University of California, Berkeley, sotto la supervisione di Shiing-Shen Chern.
Dopo aver seguito un corso di post-dottorato presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel 1972-1973 è stato assistente di matematica alla Stony Brook University e nel 1974 è diventato professore titolare alla Stanford University. Nel 1979 ha insegnato all'Institute for Advanced Study e dal 1984 al 1987 alla University of California, San Diego.
Dal 1987 è professore emerito di matematica presso l'Università di Harvard.


== Contributi ==
Shing-Tung Yau è considerato uno dei più grandi matematici contemporanei. È noto soprattutto per aver dimostrato, nel 1977, una congettura in geometria algebrica  su una varietà differenziabile, proposta nel 1964 da Eugenio Calabi.  Questa varietà è ora nota come varietà di Calabi-Yau (Calabi-Yau Manifold in inglese) e svolge un ruolo molto importante in teoria delle stringhe.


== Riconoscimenti ==
Shing-Tung Yau ha ricevuto numerosi premi e riconoscimenti, tra cui:

Oswald Veblen Prize in Geometry (1981)
John J. Carty Award (1981) 
Medaglia Fields (1982)
Premio Crafoord (1994)
National Medal of Science (1997)
Premio Wolf per la matematica (2010)
È socio della American Mathematical Society e dell'Accademia Nazionale dei Lincei.


== Note ==


== Voci correlate ==
Varietà di Calabi-Yau
Eugenio Calabi


== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

Yau, Shing-Tung, su sapere.it, De Agostini. 
Yau, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. 
(EN) Shing-Tung Yau, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. 
Yau Shing-Tung, su accademici.lincei.it, Accademia Nazionale dei Lincei. 
(EN) Yau Shing-Tung, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland. 
(EN) Yau Shing-Tung, su Mathematics Genealogy Project, North Dakota State University. 
(EN) Opere di Yau Shing-Tung, su Open Library, Internet Archive. 
(EN)  Biografia sul sito Heidelberg Laureate Forum
(EN)  The Emperor of Math articolo sul New York Times