Funzione di CarmichaelIn matematica, e in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael 
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
 è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Daniel Carmichael (1879-1967).


== Definizione ==
La funzione di Carmichael associa a ogni intero positivo 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 un intero positivo 
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
, definito come il più piccolo intero positivo 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 tale che

  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          n
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
  

per ogni intero 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 coprimo con 
  
    
      
        n
        .
      
    
    {\displaystyle n.}
  


== Calcolo della funzione di Carmichael ==
Sia 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 intero positivo e sia 
  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        ⋅
        …
        ⋅
        
          p
          
            r
          
          
            
              a
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}}}
  
 la fattorizzazione in primi di 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Si ha:

  
    
      
        λ
        (
        n
        )
        =
        mcm
        ⁡
        
          
            (
          
        
        λ
        (
        
          p
          
            1
          
          
            
              a
              
                1
              
            
          
        
        )
        ,
        λ
        (
        
          p
          
            2
          
          
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        λ
        (
        
          p
          
            k
          
          
            
              a
              
                k
              
            
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {mcm} {\big (}\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\ldots ,\lambda (p_{k}^{a_{k}}){\big )},}
  

dove 
  
    
      
        mcm
      
    
    {\displaystyle \operatorname {mcm} }
  
 indica il minimo comune multiplo in 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
.
Il teorema di Carmicheal indica come calcolare 
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
 se 
  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle n=p^{k},}
  
 con 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 primo e 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 intero positivo:

  
    
      
        λ
        (
        
          p
          
            k
          
        
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                  φ
                  (
                  
                    p
                    
                      k
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    se 
                  
                  p
                  =
                  2
                  
                     e 
                  
                  k
                  ≥
                  3
                  ,
                
              
              
                
                  φ
                  (
                  
                    p
                    
                      k
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    altrimenti,
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda (p^{k})={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\varphi (p^{k})&{\text{se }}p=2{\text{ e }}k\geq 3,\\\varphi (p^{k})&{\text{altrimenti,}}\end{cases}}}
  

dove 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 è la funzione φ di Eulero che per una potenza di un primo è data da:

  
    
      
        φ
        (
        
          p
          
            k
          
        
        )
        =
        
          p
          
            k
            −
            1
          
        
        (
        p
        −
        1
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1).}
  


== Proprietà ==
Sia 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 la funzione φ di Eulero, si ha che 
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
 è un divisore di 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
.
Si ha che 
  
    
      
        λ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda (n)}
  
 è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini degli elementi) del gruppo delle unità, ossia del (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
  
.


== Voci correlate ==
Minimo comune multiplo
Numero di Carmichael
Numero primo
Funzione φ di Eulero


== Altri progetti ==

 Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Funzione di Carmichael


== Collegamenti esterni ==

(EN) Eric W. Weisstein, Carmichael Function, su MathWorld, Wolfram Research.